Apresentação do Conteúdo

Análise Combinatória visa desenvolver método que permita contar de forma indireta, um número de elementos de um conjuntos agrupados sob certas condições. Tendo vários modos de formar agrupamentos e usando símbolos simplificativos, deduzindo fórmulas que permitam a contagem dos mesmos, como por exemplos: o Arranjo Simples, Arranjos com repetição, Permutação, Fatorial, entre outros. Mas vamos nos deter apenas no Princípio Fundamental de Contagem, sendo este um instrumento básico para a Análise Combinatória.

Princípios Básicos de Contagem

Princípio da Adição

Suponhamos um procedimento executado em fases. A fase 1 tem maneiras de ser executada, a fase 2 possui maneiras de ser executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem maneiras de ser realizado.

Exemplo 01:
Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis.

Princípio da Multiplicação

Suponhamos um procedimento executado em fases, concomitantes entre si. A fase 1 tem maneiras de ser executada, a fase 2 possui maneiras de ser executada . A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há maneiras de executar o procedimento.

Exemplo 02:
Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C.

Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação.

Exemplo 03:
Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar?
Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo . Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si.

Fixando o zero como último algarismo do número, temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos:

1º algarismo: 9 possibilidades ;
2º algarismo: 8 possibilidades , porém excluímos a escolha feita para o 1º algarismo;
3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero).
Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo.

Sem fixar o zero, temos:

3º algarismo: 4 possibilidades
1º algarismo: 8 possibilidades , excluindo a escolha feita para o último algarismo;
2º algarismo: 8 possibilidades , porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos.
Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo.
Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o número.

Em Princípio de Contagem é utilizado bastante a árvore de possibilidades ou garfos como a figura a baixo:

Facilitando a visualização das possíveis possibilidades.